The hyperbolic mean curvature flow

We introduce a geometric evolution equation of hyperbolic type, which governs the evolution of a hypersurface moving in the direction of its mean curvature vector. The flow stems from a geometrically natural action containing kinetic and internal energy terms. As the mean curvature of the hypersurface is the main driving factor, we refer to this model as the hyperbolic mean curvature flow (HMCF). The case that the initial velocity field is normal to the hypersurface is of particular interest: this property is preserved during the evolution and gives rise to a comparatively simpler evolution equation. We also consider the case where the manifold can be viewed as a graph over a fixed manifold. Our main results are as follows. First, we derive several balance laws satisfied by the hypersurface during the evolution. Second, we establish that the initial-value problem is locally well-posed in Sobolev spaces; this is achieved by exhibiting a convexity property satisfied by the energy density which is naturally associated with the flow. Third, we provide some criteria ensuring that the flow will blow-up in finite time. Fourth, in the case of graphs, we introduce a concept of weak solutions suitably restricted by an entropy inequality, and we prove that a classical solution is unique in the larger class of entropy solutions. In the special case of one-dimensional graphs, a global-in-time existence result is established.

RésuméNous introduisons une équation d'évolution géométrique de type hyperbolique qui décrit l'évolution d'une hypersurface dans la direction de son vecteur de courbure moyenne. Ce flot est défini par une fonctionnelle géométrique, somme d'un terme d'énergie cinétique et d'un terme d'énergie interne. Dans la mesure où la courbure moyenne est le facteur le plus important de ce flot, ce modèle est appelé flot hyperbolique par la courbure moyenne. Le cas particulier où la vitesse initiale est normale à l'hypersurface est particulièrement intéressant : cette propriété est préservée par l'évolution en temps et conduit à une équation très simple. Nous considérons aussi le cas où l'hypersurface peut être vue comme un graphe au dessus d'une variété fixée. Nos résultat principaux sont les suivants. Tout d'abord, nous obtenons plusieurs lois de conservation non-homogènes satisfaîtes au cours de l'évolution. Nous démontrons que le problème de valeurs initiales est bien posé dans les espaces de Sobolev ; ce résultat est établi en mettant en évidence une propriété de convexité de la fonctionnelle d'énergie associée au flot. Nous fournissons ensuite des critères d'explosion de la solution en temps fini. Enfin, dans le cas des graphes, nous introduisons une notion de solution faible entropique et nous démontrons que toute solution classique est aussi l'unique solution dans la classe des solutions entropiques. Dans le cas des graphes à une dimension, nous démontrons un résultat d'existence global en temps.