Progress on the strong Eshelby's conjecture and extremal structures for the elastic moment tensor

We make progress towards proving the strong Eshelby's conjecture in three dimensions. We prove that if for a single nonzero uniform loading the strain inside inclusion is constant and further the eigenvalues of this strain are either all the same or all distinct, then the inclusion must be of ellipsoidal shape. As a consequence, we show that for two linearly independent loadings the strains inside the inclusions are uniform, then the inclusion must be of ellipsoidal shape. We then use this result to address a problem of determining the shape of an inclusion when the elastic moment tensor (elastic polarizability tensor) is extremal. We show that the shape of inclusions, for which the lower Hashin–Shtrikman bound either on the bulk part or on the shear part of the elastic moment tensor is attained, is an ellipse in two dimensions and an ellipsoid in three dimensions.

RésuméNous progressons dans la résolution de la conjecture d'Eshelby en trois dimensions. En effet, nous démontrons que si pour un seul chargement uniforme (non trivial), le champ de contraintes dans une inclusion élastique est constant et de plus, si ses valeurs propres sont soit toutes les mêmes soit différentes les unes des autres alors l'inclusion est nécessairement de forme ellipsoïdale. Il en découle que si pour deux chargements uniformes, linéairement indépendants, les champs de contraintes sont constants alors l'inclusion doit être un ellipsoïde. Nous déterminons ensuite la forme d'une inclusion pour laquelle la borne inférieure de Hashin–Shtrikman est atteinte soit par la partie compression soit par la partie cisaillement du moment élastique. Nous démontrons qu'il s'agit en fait d'une forme elliptique en dimension deux et d'une forme ellipsoïdale en dimension trois.