From super Poincaré to weighted log-Sobolev and entropy-cost inequalities

We derive weighted log-Sobolev inequalities from a class of super Poincaré inequalities. As an application, Talagrand inequalities with super quadratic cost functions are obtained. In particular, on a complete connected Riemannian manifold, we prove that the logδlogδ-Sobolev inequality with δ∈(1,2)δ∈(1,2) implies the L2/(2−δ)L2/(2−δ)-transportation cost inequality:W2/(2−δ)ρ(fμ,μ)2/(2−δ)⩽Cμ(flogf),μ(f)=1,f⩾0 for some constant C>0C>0, and they are equivalent if the curvature of the corresponding generator is bounded below. Weighted log-Sobolev and entropy-cost inequalities are also derived for a large class of probability measures on RdRd.

RésuméDes inégalités « super-Poincaré » aux espaces log-Sobolev avec poids et aux inégalités de coût entropique. Nous obtenons des inégalités log-Sobolev avec poids à partir d'inégalités « super-Poincaré ». Comme application, on obtient les inégalités de Talagrand pour des fonctions coût « super quadratiques ». En particulier, sur une variété riemannienne complete connexe, on démontre une inégalité logδlogδ-Sobolev pour δ∈(1,2)δ∈(1,2) qui implique une inégalité L2/(2−δ)L2/(2−δ) de coût du transport :W2/(2−δ)ρ(fμ,μ)2/(2−δ)⩽Cμ(flogf),μ(f)=1,f⩾0, où C   est une constante positive ; elles sont équivalentes si la courbure du générateur associé est bornée inférieurement. On déduit aussi des inégalités log-Sobolev et de coût d'entropy pour une classe importante de mesures de probabilité sur RdRd.