The Neumann problem for singular fully nonlinear operators

We consider the Neumann problem in C2 bounded domains for fully nonlinear second order operators which are elliptic, homogenous and perhaps singular or degenerate. Inspired by [H. Berestycki, L. Nirenberg, S.R.S. Varadhan, The principal eigenvalue and maximum principle for second order elliptic operators in general domain, Comm. Pure Appl. Math. 47 (1) (1994) 47–92], we define the concept of principal eigenvalue and we characterize it through the maximum principle. Moreover, Lipschitz regularity, uniqueness and existence results for solutions of the Neumann problem are given.

RésuméOn considère le problème de Neumann dans un ouvert borné régulier pour un opérateur elliptique complètement non linéaire homogène, éventuellement singulier et dégénéré. Suivant [H. Berestycki, L. Nirenberg, S.R.S. Varadhan, The principal eigenvalue and maximum principle for second order elliptic operators in general domain, Comm. Pure Appl. Math. 47 (1) (1994) 47–92], on introduit la notion de valeur propre principale par une caractérisation en terme du principe de maximum. On donne aussi quelques résultats d'existence, d'unicité et de régularité lipschitzienne pour des solutions.