Qualitative properties of monostable pulsating fronts: exponential decay and monotonicity

In this paper, we prove various qualitative properties of pulsating traveling fronts in periodic media, for reaction-diffusion equations with Kolmogorov–Petrovsky–Piskunov type or general monostable nonlinearities. Besides monotonicity, the main part of the paper is devoted to the exponential behavior of the fronts when they approach their unstable limiting state. In the general monostable case, the logarithmic equivalent of the fronts is shown and for noncritical speeds, the decay rate is the same as in the KPP case. These results also generalize the known results in the homogeneous case or in the case when the equation is invariant by translation along the direction of propagation.

RésuméDans cet article, nous montrons diverses propriétés qualitatives de fronts progressifs pulsatoires dans des milieux périodiques, pour des équations de réaction-diffusion avec des non-linéarités de type Kolmogorov–Petrovsky–Piskunov ou, plus généralement, des non-linéarités de type monostable. Outre les propriétés de monotonie, la partie de l'article est consacrée à l'étude du comportement exponentielle des fronts lorsqu'ils approchent leur état limite instable. Dans le cas monostable général, nous déterminons l'équivalent logarithmique des fronts. Pour des vitesses non critiques, le taux de décroissance est le même que dans le cas KPP. Ces résultats généralisent également des résultats connus dans le cas homogène ou dans le cas où l'équation est invariante par translation dans la direction de propagation.