Well-posedness and inviscid limit behavior of solution for the generalized 1D Ginzburg–Landau equation

The Cauchy problem of the one-dimensional generalized Ginzburg–Landau (GGL) equation is considered. The local well-posedness is obtained for initial data in Hs(R) with s>0, and global result in Hs(R) with s>0 is also obtained under some conditions. Moreover, the relation between the solution for GGL equation and the solution for the derivative nonlinear Schrödinger (DNLS) equation is studied. It is proved that for some T>0, the solution of Cauchy problem for the GGL equation converge to the solution of Cauchy problem for the DNLS in the natural space C([0,T];Hs) with if some coefficients tend to zero. Moreover, if initial data belong to H2, the convergence holds in C([0,T];H1) for any T>0.

RésuméLe problème de Cauchy pour l'équation de Ginzburg–Landau (GGL) unidimensionnel généralisé est considéré. Le problème bien posé local est obtenu pour les données initiales dans Hs(R) avec s>0 et le résultat global dans Hs(R) avec s>0 est aussi obtenu sous certaines conditions. De plus on étudié la relation entre la solution de GGL et la solution pour la dérivée de l'équation de Schrödinger (DNLS) non linéaire. On démontre que pour certaines valeurs de T>0 la solution du problème de Cauchy de GGL converge vers la solution du problème de Cauchy de DNLS dans l'espace naturel C([0,T];Hs) avec s>1/2 lorsque certains coefficients tendent vers zéro. De plus, si les données initiales sont dans H2, la convergence est venue dans C([0,T];H1) pour tout T>0.