Charges in middle dimensions

Giving the space Nm(Rn) of m-dimensional normal currents a suitable topology, we define charges as continuous linear functionals. A continuous differential form ω:Rn→m∧Rn acting on Nm(Rn) by 〈ω,T〉:=〈T,ω〉 is an example of a charge. We show that for every charge α there are continuous m- and (m−1)-dimensional forms ω and ζ such that α=ω+dζ holds weakly. This representation can be used to define a cohomology akin to that of de Rham.

RésuméMunissant l'espace Nm(Rn) des courants normaux de dimension m d'une topologie adéquate, nous définissons les charges comme les fonctionnelles linéaires continues sur cet espace. Étant donné une forme différentielle continue ω:Rn→m∧Rn, on montre que l'action 〈ω,T〉:=〈T,ω〉 définit une charge. Nous montrons aussi que si α est une charge, on peut trouver des m et m−1 formes différentielles ω et ζ respectivement, pour lesquelles α=ω+dζ au sens faible. Cette représentation peut être utilisée pour définir une cohomologie semblable à celle de de Rham.