2-D inverse problems for the Laplacian: A meromorphic approximation approach

We consider a classical inverse problem: detecting an insulating crack inside a homogeneous 2-D conductor, using overdetermined boundary data. Our method involves meromorphically approximating the complexified solution to the underlying Dirichlet–Neumann problem on the outer boundary of the conductor, and relating the singularities of the approximant (i.e., its poles) to the singular set of the approximated function (i.e., the crack). This approach was introduced in [L. Baratchart, J. Leblond, F. Mandréa, E.B. Saff, How can the meromorphic approximation help to solve some 2-D inverse problems for the Laplacian?, Inverse Problems 15 (1999) 79–90] when the crack is a real segment embedded in the unit disk. Here we show, more generally, that the best L2 and L∞ meromorphic approximants to the complexified solution on the outer boundary of the conductor have poles that accumulate on the hyperbolic geodesic arc linking the endpoints of the crack if the latter is analytic and “not too far” from a geodesic. The extension of the method to the case where the crack is piecewise analytic is briefly discussed. We provide numerical examples to illustrate the technique; as the computational cost is low, the results may be used to initialize a heavier local search. The bottom line of the approach is to regard the problem of “optimally” discretizing a potential using finitely many point masses as a regularization scheme for the underlying inverse potential problem. This point of view may be valuable in higher dimension as well.

RésuméOn étudie dans cet article le problème inverse de la détection d'une fissure isolante dans un conducteur homogène plan à partir de données de Dirichlet–Neumann sur la frontière extérieure. La méthode consiste à approcher par une fonction méromorphe la trace sur la frontière de cette solution complexifiée, et à relier les singularités de l'approximation (i.e., ses pôles) aux singularités de la solution (i.e., la fissure). Une telle approche a été introduite dans [L. Baratchart, J. Leblond, F. Mandréa, E.B. Saff, How can the meromorphic approximation help to solve some 2-D inverse problems for the Laplacian?, Inverse Problems 15 (1999) 79–90] lorsque la fissure est un segment réel et le conducteur est le disque unité. Nous montrons ici que, plus généralement, les meilleurs approximations méromorphes L2 et L∞ sur la frontière voient leurs pôles s'accumuler sur la géodésique hyperbolique joignant les extrémités de la fissure pourvu que celle-ci soit analytique et « suffisamment proche » d'une géodésique. On discute brièvement d'une extension au cas d'une fissure analytique par morceaux, et on présente des illustrations numériques. Le coût du calcul est très faible comparé à celui que requiert une intégration directe, ce qui rend l'approche interessante pour initialiser une méthode de descente. L'idée générale est que l'on peut considérer le problème de la discrétisation « optimale » d'un potentiel sur la frontière d'un domaine comme un schéma de régularisation du problème associé de potentiel inverse. Formulée ainsi, cette philosophie pourrait également présenter de l'intérêt en dimension supérieure.