Asymptotic analysis of a periodic flow in a thin channel with visco-elastic wall

The paper deals with a fluid-structure interaction problem. A non steady-state viscous flow in a thin channel with an elastic wall is considered. The problem contains two small parameters: one of them is the ratio of the thickness of the channel to its length (i.e., to the period in the case of periodic solution); the second is the ratio of the linear density to the stiffness of the wall. For various ratios of these two small parameters, an asymptotic expansion of a periodic solution is constructed and justified by a theorem on the error estimates. To this end we prove the auxiliary results on existence, uniqueness, regularity of solution and some a priori estimates. The leading terms of the asymptotic solution are compared to the Poiseuille flow in a channel with absolutely rigid walls. In critical case a non-standard sixth order equation for the wall displacement is obtained.

RésuméCet article porte sur l'étude d'un problème de couplage fluide-structure. On considère l'écoulement non stationaire d'un fluide visqueux à l'intérieur d'un tube mince à parois élastiques. Le problème dépend de deux petits paramètres. On construit un développement asymptotique de la solution périodique, qui correspond aux différents ordres du rapport des deux paramètres. Ce développement est justifié par des estimations d'erreur. On obtient aussi des résultats auxiliaires d'existence, d'unicité, de régularité et des estimations a priori. Les termes principaux de la solution asymptotique sont comparés à ceux de la solution d'un écoulement de Poiseuille dans un tube à parois rigides. Dans le cas critique, pour le déplacement, on obtient une équation differentielle non classique du sixième ordre.