Arbitrary many boundary peak solutions for an elliptic Neumann problem with critical growth

We consider the following problem,−Δu+μu=u2∗−1,u>0inΩ,∂u∂n=0on∂Ω, where μ>0μ>0 is a large parameter, Ω   is a bounded domain in RNRN, N⩾3N⩾3 and 2∗=2N/(N−2)2∗=2N/(N−2). Let H(P)H(P) be the mean curvature function of the boundary. Assuming that H(P)H(P) has a local minimum point with positive minimum, then for any integer k, the above problem has a k-boundary peaks solution. As a consequence, we show that if Ω is strictly convex, then the above problem has arbitrarily many solutions, provided that μ is large.

RésuméOn considère le problème suivant :−Δu+μu=u2∗−1,u>0dansΩ,∂u∂n=0sur∂Ω, où μ>0μ>0 est un grand paramètre, Ω   est un domaine borné de RNRN, N⩾3N⩾3 et 2∗=2N/(N−2)2∗=2N/(N−2). Soit H(P)H(P) la courbure moyenne, supposons que H   admette un minimum local à valeur strictement positive, alors pour tout k∈Nk∈N, le problème de Neumann ci-dessus a une solution avec k pics sur le bord. Par conséquent, on montre que si Ω est strictement convexe, le problème a un nombre arbitraire de solutions, pour μ suffisamment grand.