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Asymptotics for some vibro-impact problems with a linear dissipation term
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Asymptotics for some vibro-impact problems with a linear dissipation term
چکیده انگلیسی

Given γ⩾0γ⩾0, let us consider the following differential inclusion,equation(S)x¨(t)+γx˙(t)+∂Φ(x(t))∋0,t∈R+, where Φ:Rd→R∪{+∞} is a lower semicontinuous convex function such that int(domΦ)≠∅int(domΦ)≠∅. The operator ∂Φ denotes the subdifferential of Φ  . When Φ=f+δKΦ=f+δK with f:Rd→R a smooth convex function and K⊂RdK⊂Rd a closed convex set, inclusion (S) describes the motion of a discrete mechanical system subjected to the perfect unilateral constraint x(t)∈Kx(t)∈K and submitted to the conservative force −∇f(x)−∇f(x) and the viscous friction force −γx˙. We define the notion of dissipative solution to (S) and we prove the existence of such solutions with conservation (resp. loss) of energy at impacts. If γ>0γ>0 and Φ|domΦΦ|domΦ is locally Lipschitz continuous, any dissipative solution to (S) converges, as t→+∞t→+∞, to a minimum point of Φ. When Φ   is strongly convex, the speed of convergence is exponential. Assuming as above that Φ=f+δKΦ=f+δK, suppose that the boundary of K   is smooth enough and that the normal component of the velocity is reversed and multiplied by a restitution coefficient r∈[0,1]r∈[0,1] while the tangential component is conserved whenever x(t)∈bd(K)x(t)∈bd(K). We prove that any dissipative solution to (S) satisfying the previous impact law with r<1r<1 is contained in the boundary of K   after a finite time. The case r=1r=1 is also addressed and leads to a qualitatively different behavior.

RésuméEtant donné γ⩾0γ⩾0, considérons l'inclusion différentielle suivante :equation(S)x¨(t)+γx˙(t)+∂Φ(x(t))∋0,t∈R+, où Φ:Rd→R∪{+∞} est une fonction convexe semicontinue inférieurement telle que int(domΦ)≠∅int(domΦ)≠∅. L'opérateur ∂Φ désigne le sous-différentiel de Φ  . Lorsque Φ=f+δKΦ=f+δK, avec f:Rd→R fonction convexe régulière et K⊂RdK⊂Rd ensemble convexe fermé, l'inclusion (S) décrit le mouvement d'un système mécanique discret assujetti à la contrainte unilatérale parfaite x(t)∈Kx(t)∈K et soumis à la force conservative −∇f(x)−∇f(x) ainsi qu'à la force de frottement visqueux −γx˙. On définit la notion de solution dissipative de (S) et on démontre l'existence de telles solutions avec conservation (resp. perte) d'énergie lors des impacts. Si γ>0γ>0 et si Φ|domΦΦ|domΦ est localement lipschitzienne, toute solution dissipative de (S) converge quand t→+∞t→+∞, vers un minimum de Φ. Quand Φ   est fortement convexe, la rapidité de convergence est exponentielle. Si Φ=f+δKΦ=f+δK comme ci-dessus, on suppose que le bord de K   est suffisamment régulier et que la composante normale de la vitesse est renversée et multipliée par un coefficient de restitution r∈[0,1]r∈[0,1], tandis que la composante tangentielle est conservée lorsque x(t)∈bd(K)x(t)∈bd(K). On démontre que toute solution dissipative de (S) satisfaisant la loi d'impact précédente avec r<1r<1 est contenue dans le bord de K   au bout d'un temps fini. Le cas r=1r=1 est également traité et conduit à un comportement différent.

ناشر
Database: Elsevier - ScienceDirect (ساینس دایرکت)
Journal: Journal de Mathématiques Pures et Appliquées - Volume 87, Issue 3, March 2007, Pages 291–323
نویسندگان
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