Finite-element approximation of 2D elliptic optimal design

We consider a problem of elliptic optimal design in two space dimensions. The control is the shape of the domain on which the Dirichlet problem for the Laplace equation is posed. In dimension n=2, Šveràk [V. Šveràk, On optimal shape design, J. Math. Pures Appl. 72 (1993) 537–551] proved that there exists an optimal domain in the class of all open subsets of a given bounded open set, whose complementary sets have a uniformly bounded number of connected components. The proof in [V. Šveràk, On optimal shape design, J. Math. Pures Appl. 72 (1993) 537–551] is based on the compactness of this class of domains with respect to the complementary-Hausdorff topology Hc and the continuous dependence of the solutions of the Dirichlet Laplacian in H1 with respect to it. In this article we introduce a finite-element discrete version of this problem in which the domains under consideration are polygons defined on the numerical mesh. The discrete optimal design problem admits at least one solution since it is a finite optimization problem. We prove that any limit in Hc of discrete optimal shapes, when the mesh-size tends to zero, is an optimal domain for the continuous optimal design problem. The proof relies on the following two key facts: (a) any open bounded set of R2 can be approximated in Hc by a sequence of triangulated domains, (b) finite-element approximations of the Dirichlet Laplacian in the triangulated domains converge in H1 to the solutions of the continuous Dirichlet problem whenever the triangulated domains converge in Hc.

RésuméOn considère un problème de contrôle optimal par une forme pour une équation elliptique en dimension deux. Le contrôle est la forme du domaine sur lequel est posée une équation de Laplace avec conditions aux limites de Dirichlet. En dimension n=2, Šveràk [V. Šveràk, On optimal shape design, J. Math. Pures Appl. 72 (1993) 537–551] a démontré qu'il existe un domaine optimal dans la classe de tous les ouverts contenus dans un ouvert borné donné, et dont les complémentaires ont un nombre uniformément borné de composantes connexes. La démonstration de Šveràk repose sur la compacité de cet ensemble pour la topologie Hc de Hausdorff-complémentaire, et la continuité dans H1 de la solution du problème de Laplace–Dirichlet par rapport au domaine pour cette topologie. Dans cet article, nous introduisons une version discrétisée, par éléments finis, de ce problème, dans laquelle les domaines discrets sont des familles de polygônes obtenus à partir de maillages donnés. Le problème de contrôle discret admet au moins une solution car c'est un problème en dimension finie. On montre que lorsque le pas de discrétisation tend vers 0, toute limite pour la topologie Hc de formes optimales discrètes est un optimum pour le problème continu. La démonstration repose sur deux points clé : (a) tout ouvert de R2 peut être approché, pour la topologie Hc, par une suite de domaines triangulés, (b) lorsqu'une suite de domaines triangulés converge vers un domaine continu au sens Hc, les approximations éléments finis dans les domaines triangulés du problème de Laplace–Dirichlet convergent dans H1 vers la solution continue dans le domaine limite.