On a constrained variational problem in the vector-valued case

We prove some existence and regularity results for minimizers of a class of integral functionals, defined on vector-valued Sobolev functions u for which the volumes of certain level-sets {u=li} are prescribed, with i=1,…,m. More specifically, in the case of the energy density W(x,u,Du)=2|Du|+βF(u), we prove that minimizers exist and are locally Lipschitz, if the function F and {l1,…,lm} verify suitable hypotheses.

RésuméOn démontre quelques résultats d'existence et régularité pour les minima d'une classe de fonctionnelles intégrales, définies sur les fonctions de Sobolev à valeurs vectorielles u, telles que le volume de l'ensemble de niveau {u=li} soit fixé, pour i=1,…,m. Plus précisement, dans le cas où les fonctionnelles sont du type , on démontre l'existence d'une fonction minimisante localement lipschitzienne, dès que F et {l1,…,lm} vérifient certaines hypothèses.