Fractal dimension of a random invariant set

In recent years many deterministic parabolic equations have been shown to possess global attractors which, despite being subsets of an infinite-dimensional phase space, are finite-dimensional objects. Debussche showed how to generalize the deterministic theory to show that the random attractors of the corresponding stochastic equations have finite Hausdorff dimension. However, to deduce a parametrization of a ‘finite-dimensional’ set by a finite number of coordinates a bound on the fractal (upper box-counting) dimension is required. There are non-trivial problems in extending Debussche's techniques to this case, which can be overcome by careful use of the Poincaré recurrence theorem. We prove that under the same conditions as in Debussche's paper and an additional concavity assumption, the fractal dimension enjoys the same bound as the Hausdorff dimension. We apply our theorem to the 2d Navier–Stokes equations with additive noise, and give two results that allow different long-time states to be distinguished by a finite number of observations.

RésuméAu cours des dernières années, il a été démontré que de nombreuses équations paraboliques déterministes possèdaient des attracteurs globaux qui, tout en étant des sous-ensembles d'un espace de dimension infinie, sont en fait des objets de dimension finie. Debussche a montré comment généraliser la théorie déterministe pour établir que les attracteurs aléatoires des équations stochastiques correspondantes ont une dimension de Hausdorff finie. Cependant, pour déduire une paramétrisation d'un ensemble de dimension finie par un nombre fini de coordonnées, on a besoin d'un majorant de la dimension fractale. Des problèmes nontriviaux existent pour généraliser à ce cas les techniques de Debussche ; ils peuvent être surmontés en utilisant le théorème de récurrence de Poincaré. Sous les mêmes conditions que dans l'article de Debussche, nous démontrons que la dimension fractale a une même majorante que la dimension de Hausdorff. Nous appliquons notre théorème aux équations de Navier–Stokes avec bruit additif et nous présentons deux résultats qui, au moyen d'un nombre fini d'observations, permettent de distinguer deux états donnés sur des temps longs.