Integrability of Hamiltonian systems and differential Galois groups of higher variational equations

Given a complex analytical Hamiltonian system, we prove that a necessary condition for its meromorphic complete integrability is the commutativity of the identity component of the Galois group of each variational equation of arbitrary order along any integral curve. This was conjectured by the first author based on a suggestion by the third author. The first-order non-integrability criterion, obtained by the first and second authors using only first variational equations, is extended to higher orders by the present criterion. Using this result (at order two, three or higher) it is possible to solve important open problems of integrability which escaped the first order criterion.

RésuméNous montrons qu'étant donné un système hamiltonien analytique complexe, une condition nécessaire pour qu'il soit méromorphiquement intégrable, au sens de Liouville, est que la composante connexe de l'identité du groupe de Galois différentiel de toute équation variationnelle, d'ordre arbitraire, le long de toute courbe intégrale, soit commutative. Ceci avait été conjecturé par le premier auteur, à la suite d'une suggestion du troisième, motivée par des observations numériques et analytiques sur des équations variationnelles d'ordre supérieur. Le critère présenté dans cet article étend aux équations d'ordre supérieur le critère de Morales–Ramis, obtenu antérieurement par les deux premiers auteurs, qui n'utilisait que la première équation variationnelle. Utilisant le nouveau critère (aux ordres deux, trois ou plus), il est possible de résoudre d'importants problèmes d'intégrabilité pour lesquels le critère de Morales–Ramis ne permettait pas de conclure.