Borne sur la torsion dans les variétés abéliennes de type CM

RésuméSoit A une variété abélienne de dimension g⩾1 définie sur un corps de nombres K. On étudie la taille du groupe de torsion A(F)tors où F/K est une extension finie, et on étudie plus précisément le meilleur exposant possible γ dans l'inégalité Card(A(F)tors)≪γ[F:K] quand F parcourt les extensions finies de K. Dans le cas CM, nous donnons une formule exacte pour l'exposant γ en fonction des caractères du groupe de Mumford–Tate—un tore dans ce cas—et nous donnons une brève discussion dans le cas général.Enfin nous donnons une application du résultat principal en direction d'une généralisation de la conjecture de Manin–Mumford.

Let A be an abelian variety of dimension g⩾1 defined over a number field K. We study the size of the torsion group A(F)tors where F/K is a finite extension and more precisely we study the best possible exponent γ in the inequality Card(A(F)tors)≪γ[F:K] when F is any finite extension of K. In the CM case we give an exact formula for the exponent γ in terms of the characters of the Mumford–Tate group—a torus in this case—and discuss briefly the general case.Finally we give an application of the main result in direction of a generalisation of the Manin–Mumford conjecture.