Construction of curious minimal uniquely ergodic homeomorphisms on manifolds: the Denjoy–Rees technique

In [Rees, M., A minimal positive entropy homeomorphism of the 2-torus, J. London Math. Soc. 23 (1981) 537–550], Mary Rees has constructed a minimal homeomorphism of the n-torus with positive topological entropy. This homeomorphism f is obtained by enriching the dynamics of an irrational rotation R. We improve Rees construction, allowing to start with any homeomorphism R instead of an irrational rotation and to control precisely the measurable dynamics of f. This yields in particular the following result: Any compact manifold of dimension d⩾2 which carries a minimal uniquely ergodic homeomorphism also carries a minimal uniquely ergodic homeomorphism with positive topological entropy.More generally, given some homeomorphism R of a compact manifold and some homeomorphism hC of a Cantor set, we construct a homeomorphism f which “looks like” R from the topological viewpoint and “looks like” R×hC from the measurable viewpoint. This construction can be seen as a partial answer to the following realisability question: which measurable dynamical systems are represented by homeomorphisms on manifolds?

RésuméEn enrichissant la dynamique d'une rotation irrationnelle R, Mary Rees a construit un homéomorphisme f minimal du tore Tn d'entropie positive [Rees, M., A minimal positive entropy homeomorphism of the 2-torus, J. London Math. Soc. 23 (1981) 537–550]. Nous améliorons cette construction dans deux directions : d'une part, la technique décrite permet d'enrichir la dynamique de n'importe quel homéomorphisme R ; d'autre part, nous expliquons comment contrôler avec précision la dynamique mesurable obtenue pour f. En particulier, nous montrons que toute variété compacte de dimension d⩾2 qui admet un homéomorphisme minimal et uniquement ergodique admet aussi un homéomorphisme minimal uniquement ergodique et d'entropie topologique strictement positive.Plus généralement, étant donnés un homéomorphisme R sur une variété compacte et un homémorphisme hC sur un ensemble de Cantor, nous construisons un homéomorphisme f qui « ressemble à R » d'un point de vue topologique et « ressemble à R×hC » d'un point de vue mesurable. Ceci donne une réponse partielle à la question suivante : quels systèmes dynamiques mesurables sont réalisés par des homéomorphismes sur des variétés ?