Deformation of holomorphic maps onto the blow-up of the projective plane

Let S be the blow-up of the projective plane at d distinct points and be any surjective holomorphic map from a compact complex manifold S′. We will show that all deformations of ψ come from automorphisms of S if d⩾3. The result is optimal in the sense that it is not true if d⩽2. The strategy of the proof is to use the infinitesimal automorphisms of the web geometry on S arising from the natural foliations of S induced by the pencils of the lines through the blow-up centers.

RésuméSoit S l'éclaté du plan projectif en d points distincts, et une application surjective quelconque d'une variété complexe compacte S′ dans S. Nous montrons que toutes les déformations de ψ proviennent d'automorphismes de S si d⩾3. Le résultat est optimal, au sens qu'il n'est pas vrai si d⩽2. La stratégie de la preuve est d'utiliser les automorphismes infinitésimaux de la géométrie des tissus sur S provenant des feuilletages naturels de S induits par les pinceaux de droites passant par les points d'éclatements.