Quasi-morphismes et invariant de Calabi

RésuméDans ce texte, nous donnons deux constructions élémentaires de quasi-morphismes homogènes définis sur le groupe des difféomorphismes hamiltoniens d'une variété symplectique connexe fermée (ou sur son revêtement universel). Le premier quasi-morphisme, noté CalS, est défini sur le groupe des difféomorphismes hamiltoniens d'une surface fermée orientée de genre supérieur ou égal à 2. Cette construction est motivée par une question de M. Entov et L. Polterovich [M. Entov, L. Polterovich, Calabi quasimorphism and quantum homology, Int. Math. Res. Not. 30 (2003) 1635–1676]. Si U⊂S est un disque ou un anneau, la restriction de CalS au groupe des difféomorphismes qui sont le temps 1 d'une isotopie hamiltonienne dans U est égale au morphisme de Calabi. Le second quasi-morphisme est défini sur le revêtement universel du groupe des difféomorphismes hamiltoniens d'une variété symplectique pour laquelle la classe de cohomologie de la forme symplectique est un multiple de la première classe de Chern.

In this paper, we give two elementary constructions of homogeneous quasi-morphisms defined on the group of Hamiltonian diffeomorphisms of certain closed connected symplectic manifolds (or on its universal cover). The first quasi-morphism, denoted by CalS, is defined on the group of Hamiltonian diffeomorphisms of a closed oriented surface S of genus greater than 1. This construction is motivated by a question of M. Entov and L. Polterovich [M. Entov, L. Polterovich, Calabi quasimorphism and quantum homology, Int. Math. Res. Not. 30 (2003) 1635–1676]. If U⊂S is a disk or an annulus, the restriction of CalS to the subgroup of diffeomorphisms which are the time one map of a Hamiltonian isotopy in U equals Calabi's homomorphism. The second quasi-morphism is defined on the universal cover of the group of Hamiltonian diffeomorphisms of a symplectic manifold for which the cohomology class of the symplectic form is a multiple of the first Chern class.