Analytic cell decomposition and analytic motivic integration

The main results of this paper are a Cell Decomposition Theorem for Henselian valued fields with analytic structure in an analytic Denef–Pas language, and its application to analytic motivic integrals and analytic integrals over Fq((t)) of big enough characteristic. To accomplish this, we introduce a general framework for Henselian valued fields K with analytic structure, and we investigate the structure of analytic functions in one variable, defined on annuli over K. We also prove that, after parameterization, definable analytic functions are given by terms. The results in this paper pave the way for a theory of analytic motivic integration and analytic motivic constructible functions in the line of R. Cluckers and F. Loeser [Fonctions constructible et intégration motivique I, Comptes rendus de l'Académie des Sciences 339 (2004) 411–416].

RésuméDans cet article nous établissons une décomposition cellulaire pour des corps valués henseliens munis d'une structure analytique induite par un langage de Denef–Pas analytique. En particulier, nous appliquons cet énoncé à l'étude des intégrales analytiques motiviques et des intégrales analytiques sur Fq((t)) de caractéristique assez grande. Pour cela, il est nécessaire d'introduire une définition générale des corps valués henséliens K avec structure analytique. On examine alors la structure des fonctions analytiques en une variable définies sur des anneaux sur K et l'on établit que, dans ce contexte, les fonctions définissables sont exactement données par des termes après paramétrisation. Plus généralement, les résultats de cet article préparent le chemin pour définir une théorie de l'intégration analytique motivique et des fonctions analytiques motiviques constructibles dans l'esprit de R. Cluckers et F. Loeser [Fonctions constructible et intégration motivique I, Comptes rendus de l'Académie des Sciences 339 (2004) 411–416].