On the global wellposedness of the 3-D Navier–Stokes equations with large initial data

We give a condition for the periodic, three-dimensional, incompressible Navier–Stokes equations to be globally wellposed. This condition is not a smallness condition on the initial data, as the data is allowed to be arbitrarily large in the scale invariant space , which contains all the known spaces in which there is a global solution for small data. The smallness condition is rather a nonlinear type condition on the initial data; an explicit example of such initial data is constructed, which is arbitrarily large and yet gives rise to a global, smooth solution.

RésuméNous donnons une condition pour que le système de Navier–Stokes incompressible, périodique, tridimensionnel, soit globalement bien posé. Cette condition n'est pas une condition de petitesse sur la donnée initiale, la donnée pouvant être arbitrairement grande dans l'espace invariant d'échelle , qui contient tous les espaces connus dans lesquels des données petites suffisamment petites produisent une unique solution globale. La condition de petitesse est plutôt de type non linéaire sur la donnée initiale ; on construit un exemple explicite de donnée initiale qui est arbitrairement large et qui produit cependant une solution globale régulière.