Hill's spectral curves and the invariant measure of the periodic KdV equation

This paper analyses the periodic spectrum of Schrödinger's equation −f″+qf=λf−f″+qf=λf when the potential is real, periodic, random and subject to the invariant measure νNβ of the periodic KdV equation. This νNβ is the modified canonical ensemble, as given by Bourgain (1994) [7], and νNβ satisfies a logarithmic Sobolev inequality. Associated concentration inequalities control the fluctuations of the periodic eigenvalues (λn)(λn). For β,N>0β,N>0 small, there exists a set of positive νNβ measure such that (±2(λ2n+λ2n−1))n=0∞ gives a sampling sequence for Paley–Wiener space PW(π)PW(π) and the reproducing kernels give a Riesz basis. Let (μj)j=1∞ be the tied spectrum; then (2μj−j) belongs to a Hilbert cube in ℓ2ℓ2 and is distributed according to a measure that satisfies Gaussian concentration for Lipschitz functions. The sampling sequence (μj)j=1∞ arises from a divisor on the spectral curve, which is hyperelliptic of infinite genus. The linear statistics ∑jg(λ2j) with test function g∈PW(π)g∈PW(π) satisfy Gaussian concentration inequalities.

RésuméCet article analyse le spectre périodique de l'équation de Schrödinger −f″+qf=λf−f″+qf=λf lorsque le potentiel est réel, périodique, aléatoire et muni de la mesure invariante νNβ de l'équation KdV périodique. Cette mesure νNβ est l'ensemble canonique modifié, donné par Bourgain (1994) [7], et νNβ satisfait une équation logarithmique de Sobolev. Des inégalités de concentration associées contrôlent les fluctuations des valeurs propres périodiques (λn)(λn). Pour de petites valeurs β,N>0β,N>0, il existe un ensemble de mesure νNβ positive tel que (±2(λ2n+λ2n−1))n=0∞ donne une suite échantillonnage pour l'espace PW(π)PW(π) de Paley–Wiener et les noyaux reproduisants donnent une base de Riesz. Soit (μj)j=1∞ le spectre lié. Alors (2μj−j) appartient à un cube de Hilbert dans ℓ2ℓ2 et il est distribué selon une mesure qui satisfait la concentration Gaussienne pour les fonctions de Lipschitz. La suite échantillonnage (μj)j=1∞ découle d'un diviseur de la courbe spectrale, qui est hyperelliptique de genre infini. Les statistiques linéaires ∑jg(λ2j) avec fonction test g∈PW(π)g∈PW(π) satisfont les inégalités de concentration Gaussiennes.