The tame dimension vectors for trees

We consider representations of quivers over an algebraically closed field K. A dimension vector of a quiver is called hypercritical, if there is an m-parameter family of indecomposable representations for the dimension vector with m⩾2, but every family of representations for all smaller dimension vectors depends on a single parameter. We characterise the hypercritical dimension vectors for trees via their Tits forms and those of their decompositions and present the complete list of the hypercritical dimension vectors.Finally, this leads to a combinatorial classification of the tame dimension vectors for trees which is also given by the Tits forms.

RésuméNous considerons des représentations des carquois sur un corps algébriquement clos K. Un vecteur des dimensions d'un carquois est appelé hypercritique, s'il ya une famille des représentations indecomposables pour le vecteur des dimensions paramétrée par m⩾2 paramètres, mais chaque famille des représentations pour les vecteurs des dimensions plus petites depende d'un seul paramètre. Nous caractérisons les vecteurs des dimensions hypercritiques pour les arbres par leurs formes de Tits et les formes de Tits des vecteurs des dimensions des leurs décompositions et présentons la liste complète des vecteurs des dimensions hypercritiques.Enfin, nous obtenons une classification combinatoire des vecteurs des dimensions dociles pour les arbres qui est aussi donnée par les formes de Tits.