Unicité des solutions des équations de Navier–Stokes dans les espaces de Morrey–Campanato

RésuméDans un travail récent [P.G. Lemarié-Rieusset, Uniqueness for the Navier–Stokes problem: Remarks on a theorem of Jean-Yves Chemin, Nonlinearity 20 (2007) 1475–1490], P.G. Lemarié-Rieusset a montré l'unicté des solutions des équations de Navier–Stokes dans l'espace oùp>2 et q>d. Dans ce travail, nous montrons une version locale “en espace” de ce résultat qui couvre le cas limite q=d. Plus précisement, nous montrons l'unicité dans l'espace , avec p>2 et r>2, où est l'adhérence de S(Rd) dans l'espace de Morrey–Campanato Mr,d. La démonstration de ce résultat repose sur une extension du Théorème de Comparaison de P.G. Lemarié-Rieusset [P.G. Lemarié-Rieusset, Recent developments in the Navier–Stokes problem, Chapman & Hall/CRC, 2002]. Cette extension nous permet aussi de prouver l'unicité des solutions des équations de Navier–Stokes dans un sous espace assez grand de l'espace critique C([0,T],M2,d(Rd)).

In a recent work [P.G. Lemarié-Rieusset, Uniqueness for the Navier–Stokes problem: Remarks on a theorem of Jean-Yves Chemin, Nonlinearity 20 (2007) 1475–1490], P.G. Lemarié-Rieusset proved the uniqueness of solution to the Navier–Stokes equations in the space provided that p>2 and q>d. In this paper, we prove a local version of this result which covers the limit case q=d. Precisely, we prove the uniqueness of solution to the Navier–Stokes equations in the space for every p>2 and r>2 where is the closure of the test functions in the Morrey–Campanato space Mr,d(Rd). The prove of our result relies on an extension of the Comparison Theorem of P.G. Lemarié-Rieusset (Theorem 21.1 in [P.G. Lemarié-Rieusset, Recent developments in the Navier–Stokes problem, Chapman & Hall/CRC, 2002]). Moreover, this extension allows us to prove the uniqueness of solution to the Navier–Stokes equations in a functional space closed to the critical space C([0,T],M2,d(Rd)).