On the convergence to the multiple Wiener–Itô integral

We study the convergence to the multiple Wiener–Itô integral from processes with absolutely continuous paths. More precisely, consider a family of processes, with paths in the Cameron–Martin space, that converges weakly to a standard Brownian motion in C0([0,T]). Using these processes, we construct a family that converges weakly, in the sense of the finite dimensional distributions, to the multiple Wiener–Itô integral process of a function f∈L2(n[0,T]). We prove also the weak convergence in the space C0([0,T]) to the second-order integral for two important families of processes that converge to a standard Brownian motion.

RésuméNous étudions la convergence vers l'intégrale multiple de Wiener–Itô à partir de processus à trajectoires absolument continues. Plus précisément, on considère une famille de processus, avec trajectoires dans l'espace de Cameron–Martin, qui converge faiblement vers un mouvement brownien standard dans l'espace C0([0,T]). En utilisant ces processus on construit une famille qui converge faiblement, dans le sens des distributions finies-dimensionnelles, vers le processus intégrale multiple de Wiener–Itô d'une fonction f∈L2(n[0,T]). On montre aussi la convergence faible dans l'espace C0([0,T]) vers l'intégrale de second ordre pour deux familles importantes de processus qui convergent vers un mouvement Brownien standard.