Positive polynomials on projective limits of real algebraic varieties

We reveal some important geometric aspects related to non-convex optimization of sparse polynomials. The main result, a Positivstellensatz on the fibre product of real algebraic affine varieties, is iterated to a comprehensive class of projective limits of such varieties. This framework includes as necessary ingredients recent works on the multivariate moment problem, disintegration and projective limits of probability measures and basic techniques of the theory of locally convex vector spaces. A variety of applications illustrate the versatility of this novel geometric approach to polynomial optimization.

RésuméNous dévoilons quelques aspects géométriques importants reliés a l'optimisation non-convexe de polynômes “sparse” (i.e. qui satisfont certaines conditions de séparation des variables dans leurs monômes). Le résultat principal, un Positivstellensatz pour le produit fibré de variétées algébriques affines, est étendu aux classes de limites projectives de telles variétées. Cette approche utilise des ingrédients nécessaires qui se trouvent dans les travaux récents sur le problème des moments en plusieurs variables, la disintégration et limite projective de mesures de probabilités, ainsi que quelques techniques de base de la théorie des espaces vectoriels localement convexes. Une variété d'applications illustre la richesse de cette nouvelle approche géométrique à l'optimisation polynomiale.