Stabilizers and orbits of smooth functions

Let be a smooth function such that f(0)=0. We give a condition J(id) on f when for arbitrary preserving orientation diffeomorphism such that ϕ(0)=0 the function ϕ○f is right equivalent to f, i.e. there exists a diffeomorphism such that ϕ○f=f○h at 0∈Rm. The requirement is that f belongs to its Jacobi ideal. This property is rather general: it is invariant with respect to the stable equivalence of singularities, and holds for non-degenerated, simple, and many other singularities.We also globalize this result as follows. Let M be a smooth compact manifold, a surjective smooth function, DM the group of diffeomorphisms of M, and the group of diffeomorphisms of R that have compact support and leave [0,1] invariant. There are two natural right and left-right actions of DM and on C∞(M,R). Let SM(f), SMR(f), OM(f), and OMR(f) be the corresponding stabilizers and orbits of f with respect to these actions. We prove that if f satisfies J(id) at each critical point and has additional mild properties, then the following homotopy equivalences hold: SM(f)≈SMR(f) and OM(f)≈OMR(f). Similar results are obtained for smooth mappings M→S1.

RésuméSoit une application différentiable telle que f(0)=0. On introduit une condition J(id) et prouve que si f lui satisfait, alors pour chaque difféomorphisme tel que ϕ(0)=0 et ϕ préserve l'orientation de R il existe un difféomorphisme tel que ϕ○f=f○h en 0∈Rm. La condition J(id) requiet que f appartient à son idéal Jacobien en 0. Cette propriété est invariante par rapport à l'équivalence stable des singularités. Aussi les singularités non-dégénérées et simples satisfont J(id).Ce résultat local implique le théorème global suivant. Soient M une variété différentiable, une application différentiable surjective, DM le groupe des difféomorphismes de M et le groupe des difféomorphismes de R de support compact et préservant [0,1]. Il y a deux actions droite et gauche-droite de DM et respectivement sur C∞(M,R). Soient SM(f), SMR(f), OM(f) et OMR(f) les stabilisateurs et orbites correspondantes de f par rapport à ces actions. On prouve que si f satisfait J(id) en chaque point critique et aussi une autre condition naturelle, alors on a les équivalences homotopies suivantes : SM(f)≈SMR(f) et OM(f)≈OMR(f). Les résultats semblantes sont obtenus pour les applications différentiables M→S1.