The infinitesimal 16th Hilbert problem in dimension zero

We study the analogue of the infinitesimal 16th Hilbert problem in dimension zero. Lower and upper bounds for the number of the zeros of the corresponding Abelian integrals (which are algebraic functions) are found. We study the relation between the vanishing of an Abelian integral I(t) defined over Q and its arithmetic properties. Finally, we give necessary and sufficient conditions for an Abelian integral to be identically zero.

RésuméNous étudions l'analogue du 16ème problème de Hilbert infinitesimal en dimension zéro. Nous calculons des bornes supérieurs et inférieurs pour le nombre des zéros des intégrales abéliennes (qui sont des fonctions algébriques) associées. Nous étudions les relations entre l'annulation des intégrales abéliennes définies sur Q et leurs propriétés arithmétiques. Finalement, nous déduisons des conditions suffisantes et nécessaires pour qu'une intégrale abélienne soit identiquement nulle.