Affine images of compact convex sets and maximal measures

Let be an affine continuous mapping of a compact convex set X onto a compact convex set Y. We show that the induced mapping φ♯ need not map maximal measures on X to maximal measures on Y even in case φ maps extreme points of X to extreme points of Y. This disproves Théorème 6 of [S. Teleman, Sur les mesures maximales, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 318 (6) (1994) 525–528]. We prove the statement of Théorème 6 under an additional assumption that extY is Lindelöf or Y is a simplex. We also show that under either of these two conditions injectivity of φ on extX implies injectivity of φ♯ on maximal measures. A couple of examples illustrate the results.

RésuméSoit une application affine et continue d'un compact convexe X sur un compact convexe Y. Nous montrons que l'image d'une mesure maximale par l'application induite φ♯ n'est pas nécessairement une mesure maximale, même pas, si les images des points extrémaux sont des points extrémaux. Ceci réfute Théorème 6 dans [S. Teleman, Sur les mesures maximales, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 318 (6) (1994) 525–528]. Nous prouvons l'énoncé de ce théorème sous l'hypothèse supplémentaire que extY est Lindelöf ou Y est un simplex. En plus, nous démontrons que, en supposant l'une ou l'autre de ces deux propriétés, l'injectivité de φ sur extX implique l'injectivité de φ pour les mesures maximales. Quelques exemples explicitent les résultats.