Triple operator integrals in Schatten–von Neumann norms and functions of perturbed noncommuting operators

We study perturbations of functions f(A,B)f(A,B) of noncommuting self-adjoint operators A and B that can be defined in terms of double operator integrals. We prove that if f   belongs to the Besov class B∞,11(R2), then we have the following Lipschitz-type estimate in the Schatten–von Neumann norm SpSp, 1≤p≤21≤p≤2: ‖f(A1,B1)−f(A2,B2)‖Sp≤const(‖A1−A2‖Sp+‖B1−B2‖Sp)‖f(A1,B1)−f(A2,B2)‖Sp≤const(‖A1−A2‖Sp+‖B1−B2‖Sp). However, the condition f∈B∞,11(R2) does not imply the Lipschitz-type estimate in SpSp with p>2p>2. The main tool is Schatten–von Neumann norm estimates for triple operator integrals.

RésuméNous examinons les perturbations de fonctions f(A,B)f(A,B) d'opérateurs auto-adjoints A et B qui ne commutent pas. De telles fonctions peuvent être définies en termes d'intégrales doubles opératorielles. Pour f   dans l'espace de Besov B∞,11(R2), nous obtenons l'estimation lipschitzienne en norme de Schatten–von Neumann SpSp, 1≤p≤21≤p≤2 : ‖f(A1,B1)−f(A2,B2)‖Sp≤const(‖A1−A2‖Sp+‖B1−B2‖Sp)‖f(A1,B1)−f(A2,B2)‖Sp≤const(‖A1−A2‖Sp+‖B1−B2‖Sp). Par ailleurs, la condition f∈B∞,11(R2) n'implique pas l'estimation lipschitzienne en norme de SpSp pour p>2p>2. L'outil principal consiste en l'estimation d'intégrales triples opératorielles dans les normes de SpSp.