The stability of Frobenius direct images of rank-two bundles over surfaces

Let X be a smooth projective surface over an algebraically closed field k   of characteristic p≥5p≥5 with ΩX1 semistable and μ(ΩX1)>0. Given a semistable (resp. stable) vector bundle W   of rank 2, we prove that the direct image F⁎WF⁎W under the Frobenius morphism F is also semistable (resp. stable).

RésuméSoit X une surface projective lisse sur un corps algébriquement clos k   de caractéristique p≥5p≥5 avec ΩX1 semistable et μ(ΩX1)>0. Étant donné un fibré vectoriel semistable (resp. stable) W de rang 2 sur X  , on montre que l'image directe F⁎WF⁎W par le morphisme de Frobenius F est aussi semistable (resp. stable).