On convergence almost everywhere of series of dilated functions

Let f(x)=∑ℓ∈Zaℓe2iπℓxf(x)=∑ℓ∈Zaℓe2iπℓx, where ∑k≥1ak2d(k)<∞ and d(k)=∑d|k1d(k)=∑d|k1 and let fn(x)=f(nx)fn(x)=f(nx). We show by using a new decomposition of squared sums that, for any K⊂NK⊂N finite, ‖∑k∈Kckfk‖22≤(∑m=1∞am2d(m))∑k∈Kck2d(k2). If fs(x)=∑j=1∞sin⁡2πjxjs, s>1/2s>1/2, by only using elementary Dirichlet convolution calculus, we show that for 0<ε≤2s−10<ε≤2s−1, ζ(2s)−1‖∑k∈Kckfks‖22≤1+εε(∑k∈K|ck|2σ1+ε−2s(k)), where σh(n)=∑d|ndhσh(n)=∑d|ndh. From this, we deduce that if f∈BV(T)f∈BV(T), 〈f,1〉=0〈f,1〉=0 and ∑k=1∞ck2(log⁡log⁡k)4(log⁡log⁡log⁡k)2<∞, then the series ∑kckfk∑kckfk converges almost everywhere. This slightly improves a recent result, depending on a fine analysis on the polydisc ([1], th. 3) (nk=knk=k), where it was assumed that ∑k=1∞ck2(log⁡log⁡k)γ converges for some γ>4γ>4.

RésuméSoit f(x)=∑ℓ∈Zaℓe2iπℓxf(x)=∑ℓ∈Zaℓe2iπℓx telle que la série ∑k≥1ak2d(k) où d(k)=∑d|k1d(k)=∑d|k1 converge, et soit fn(x)=f(nx)fn(x)=f(nx). Nous montrons à l'aide d'une nouvelle décomposition des sommes carrées que ‖∑k∈Kckfk‖22≤(∑m=1∞am2d(m))∑k∈Kck2d(k2), pour tout ensemble fini d'entiers K  . Si fs(x)=∑j=1∞sin⁡2πjxjs, s>1/2s>1/2, nous montrons aussi, par un calcul simple sur les convolutions de Dirichlet, que ζ(2s)−1‖∑k∈Kckfks‖22≤1+εε(∑k∈K|ck|2σ1+ε−2s(k)), où 0<ε≤2s−10<ε≤2s−1 et σh(n)=∑d|ndhσh(n)=∑d|ndh. Nous en déduisons que, pour tout f∈BV(T)f∈BV(T) telle que 〈f,1〉=0〈f,1〉=0, si la série ∑k=1∞ck2(log⁡log⁡k)4(log⁡log⁡log⁡k)2 converge, alors la série ∑kckfk∑kckfk converge presque partout. Cela améliore un résultat récent, dépendant d'une analyse fine sur le polydisque ([1], th. 3) (nk=knk=k), où l'on suppose que la série ∑k=1∞ck2(log⁡log⁡k)γ converge pour un réel γ>4γ>4.