Fréchet differentiability of the norm of LpLp-spaces associated with arbitrary von Neumann algebras

Let MM be a von Neumann algebra and let (Lp(M),‖⋅‖p)(Lp(M),‖⋅‖p), 1≤p<∞1≤p<∞ be Haagerup's LpLp-space on MM. We prove that the differentiability properties of ‖⋅‖p‖⋅‖p are precisely the same as those of classical (commutative) LpLp-spaces. Our main instruments are multiple operator integrals and singular traces.

RésuméSoit MM une algèbre de von Neumann et soit (Lp(M),‖⋅‖p)(Lp(M),‖⋅‖p), 1≤p<∞1≤p<∞ l'espace LpLp de Haagerup sur MM. On montre que les propriétés de différentiabilité de ‖⋅‖p‖⋅‖p sont exactement les mêmes que celles obtenues sur les espaces LpLp classiques (commutatifs). Les ingrédients principaux sont les opérateurs intégraux multiples et les traces singulières.