The Arithmetic Site

We show that the non-commutative geometric approach to the Riemann zeta function has an algebraic geometric incarnation: the “Arithmetic Site”. This site involves the tropical semiring N¯ viewed as a sheaf on the topos N׈ dual to the multiplicative semigroup of positive integers. We realize the Frobenius correspondences in the square of the “Arithmetic Site”.

RésuméLe « Site arithmétique » est l'incarnation en géométrie algébrique de l'espace non commutatif, de nature adélique, qui permet d'obtenir la fonction zêta de Riemann comme fonction de dénombrement de Hasse–Weil. Ce site est construit à partir du semi-anneau tropical N¯ vu comme un faisceau sur le topos N׈ dual du semigroupe multiplicatif des entiers positifs. Nous réalisons les correspondances de Frobenius dans le carré du « Site arithmétique ».