Restrictions of Brownian motion

Let {B(t):0≤t≤1}{B(t):0≤t≤1} be a linear Brownian motion and let dim denote the Hausdorff dimension. Let α>12 and 1≤β≤21≤β≤2. We prove that, almost surely, there exists no set A⊂[0,1]A⊂[0,1] such that dim⁡A>12 and B:A→RB:A→R is α  -Hölder continuous. The proof is an application of Kaufman's dimension doubling theorem. As a corollary of the above theorem, we show that, almost surely, there exists no set A⊂[0,1]A⊂[0,1] such that dim⁡A>β2 and B:A→RB:A→R has finite β-variation. The zero set of B and a deterministic construction witness that the above theorems give the optimal dimensions.

RésuméOn note {B(t):0≤t≤1}{B(t):0≤t≤1} un mouvement brownien linéaire et dim la dimension de Hausdorff. Pour α>12 et 1≤β≤21≤β≤2, nous montrons que, presque sûrement, il n'existe pas d'ensemble A⊂[0,1]A⊂[0,1] tel que dim⁡A>12 et B:A→RB:A→R soit α  -Hölder continue. La preuve est une application du théorème de Kaufman sur le doublement de dimension. Comme corollaire du théorème ci-dessus, nous montrons que, presque sûrement, il n'existe pas d'ensemble A⊂[0,1]A⊂[0,1] tel que dim⁡A>β2 et B:A→RB:A→R ait une β-variation finie. L'ensemble des zéros de B et une construction déterministe montrent que les théorèmes ci-dessus donnent les dimensions optimales.