Vertex-reinforced random walk on ZZ with sub-square-root weights is recurrent

We prove that vertex-reinforced random walk on ZZ with weight of order kαkα, for α∈[0,1/2)α∈[0,1/2), is recurrent. This confirms a conjecture of Volkov for α<1/2α<1/2. The conjecture for α∈[1/2,1)α∈[1/2,1) remains open.

RésuméOn démontre que toute marche aléatoire renforcée par sommets sur ZZ avec poids de l'ordre de kαkα, pour α∈[0,1/2)α∈[0,1/2), est récurrente. Ce résultat confirme une conjecture de Volkov pour α<1/2α<1/2. La conjecture reste ouverte pour α∈[1/2,1)α∈[1/2,1).