A duality formula for Feynman–Kac path particle models

This Note and its extended version [10] present a new duality formula between genetic type genealogical tree based particle models and Feynman–Kac measures on path spaces. Among others, this formula allows us to design reversible Gibbs–Glauber Markov chains for Feynman–Kac integration on path spaces. Our approach yields new Taylor series expansions of the particle Gibbs–Glauber semigroup around its equilibrium measure w.r.t. the size of the particle system, generalizing the recent work of Andrieu, Doucet, and Holenstein [1]. We analyze the rate of convergence to equilibrium in terms of the ratio of the length of the trajectories to the number of particles. The analysis relies on a tree-based functional and combinatorial representation of a class of Feynman–Kac particle models with a frozen ancestral line. We illustrate the impact of these results in the context of Quantum and Diffusion Monte Carlo methods.

RésuméCette Note et sa version étendue [10] présentent une nouvelle formule de dualité entre des modèles d'arbres généalogiques associés à des algorithmes génétiques particulaires et des mesures de Feynman–Kac sur des espaces trajectoriels. Cette formule permet de définir des processus de Markov réversibles de type Gibbs–Glauber pour intégrer des mesures de Feynman–Kac sur des espaces de trajectoires. Notre étude présente aussi de nouveaux développement de Taylor par rapport à la taille des systèmes de particules du semi-groupe de ces processus autour de leur mesure d'équilibre. Ces résultats étendent les travaux récents d'Andrieu, Doucet and Holenstein [1]. En particulier, nous obtenons une vitesse de convergence à l'équilibre liée au rapport entre longueurs des trajectoires et taille des systèmes de particules. La preuve de ces résultats est fondée sur une représentation fonctionnelle et combinatoire des lois de modèles particulaires de type Feynman–Kac ayant une trajectoire ancestrale fixée. Nous en donnons une illustration dans le cadre des méthodes de Monte Carlo quantiques.