Sums of Murray–von Neumann equivalent operators

Let A, B   be two Hilbert space positive operators such that 1⩾‖B‖≠01⩾‖B‖≠0 and the positive part of A−IA−I satisfies Tr(A−I)+=∞Tr(A−I)+=∞. Then A=∑n=1∞Bn, where Bn∼BBn∼B for all n  . (X∼YX∼Y means X=TT⁎X=TT⁎ and Y=T⁎TY=T⁎T.) This extends a 2009 result of Kaftal, Ng, and Zhang for sums of projections.

RésuméSi A   est un opérateur positif tel que la partie positive de A−IA−I vérifie Tr(A−I)+=∞Tr(A−I)+=∞, alors A est une somme de projections de rangs infinis. Ce résultat, obtenu en 2009 par Kalftal, Ng et Zhang, est étendu dans cette note aux sommes dʼopérateurs Murray–von Neumann équivalents à une contraction positive arbitraire.