Weak-LpLp bounds for the Carleson and Walsh–Carleson operators

We prove a weak-LpLp bound for the Walsh–Carleson operator for p   near 1, improving on a theorem of Sjölin. We relate our result to the conjectures that the Walsh–Fourier and Fourier series of a function f∈LlogL(T) converge for almost every x∈Tx∈T.

RésuméNous prouvons une estimation Lp,∞Lp,∞ pour l'opérateur de Walsh–Carleson, pour p   proche de 1, qui constitue une amélioration d'un théorème de Sjölin. Nous interprétons nos résultats par rapport à la conjecture selon laquelle la série de Fourier d'une fonction f∈LlogL(T) est convergente presque partout.