Systèmes dʼéquations polynomiales pour les revêtements hyperelliptiques d-osculants

RésuméSoit X une courbe projective lisse de genre 1 donnée, définie sur un corps K de caractéristique p≠2. Pour tout entier positif n, on considère lʼespace des modules H(X,n) de revêtements finis et séparables de X par une courbe hyperelliptique, marquée en un triplet de points de Weierstrass. On paramétrise dʼabord H(X,n) par un sous-espace des fractions rationnelles de degré n, obtenant une caractérisation polynomiale de ceux ayant ordre dʼosculation d (d⩾1). On en déduit, par la suite, des systèmes dʼéquations polynomiales dont les solutions donnent tous les revêtements hyperelliptiques d-osculants.

Let X denote a fixed smooth projective curve of genus 1, defined over an algebraically closed field K of arbitrary characteristic p≠2. For any positive integer n, we will consider the moduli space H(X,n) of degree-n finite separable covers of X by a hyperelliptic curve marked at a triplet of Weierstrass points. We start parameterizing H(X,n) by a suitable space of rational fractions, obtaining a polynomial characterization of those having order of osculation d (d⩾1). We then deduce systems of polynomial equations, whose set of solutions codifies all degree-n hyperelliptic d-osculating covers of X.