A remark on the connectedness of spheres in Cayley graphs

The aim of this short note is to prove a useful result about the connectedness of spheres in Cayley graphs. By sphere, one refers to the sphere connected at infinity: the intersection of Bn+rBn+r, the ball of radius n+rn+r, with Bnc,∞, the infinite component ball of the complement of the ball of radius n. We show that in a finitely presented group with one end, there exists r   such that Bn+r∩Bnc,∞ is connected (for any n).

RésuméL'objectif de cette note est de montrer qu'un groupe qui a un seul bout et est finiment présenté possède la propriété des sphères connexes. Cette propriété consiste à dire qu'il existe un r>0r>0 tel que, pour tout n≥0n≥0, l'intersection de la boule (dans un graphe de Cayley) de rayon n+rn+r et de la composante infinie dans le complémentaire de la boule de rayon n est connexe.