Remarks on compact shrinking Ricci solitons of dimension four

In this paper, we study the topological restriction of gradient shrinking Ricci solitons (M,g)(M,g) of dimension 4. Let s be the scalar curvature of the metric g. Then we have:∫Msdvg=4ρvol(M), where ρ>0ρ>0 is the shrinking constant and vol(M)vol(M) is the volume of (M,g)(M,g). We also have two kinds of topology results. (1) If we assume that:∫Ms2⩽24ρ2vol(M), then2χ(M)±3τ(M)⩾0.2χ(M)±3τ(M)⩾0. (2) If (M,g)(M,g) is a natural oriented Kähler surface, then we have:2χ(M)+3τ(M)=ρ2vol(M)2π2. Actually, we shall show that the assumption in (1) above is equivalent to the fact that:∫Mσ2(Rc−s6g)⩾0. Here σ2(A):=σ2(g)σ2(A):=σ2(g) is the 2nd symmetric function of the eigenvalues of the matrix A:=Rc−s6g.

RésuméNous étudions dans cette Note la restriction topologique des solitons de Ricci (M,g)(M,g) contractant le gradient, de dimension 4. Soit s la courbure scalaire de la métrique g, alors on a :∫Msdvg=4ρvol(M), où ρ>0ρ>0 est la constante de contraction et vol(M)vol(M) le volume de (M,g)(M,g). Nous obtenons également deux types de résultats topologiques. (1) En supposant :∫Ms2⩽24ρ2vol(M), alors2χ(M)±3τ(M)⩾0.2χ(M)±3τ(M)⩾0. (2) Si (M,g)(M,g) est une surface de Kähler naturellement orientée, alors on a :2χ(M)+3τ(M)=ρ2vol(M)2π2. En fait, nous montrons que lʼhypothèse de (1) ci-dessus est équivalente à :∫Mσ2(Rc−s6g)⩾0, avec σ2(Rc−s6g):=σ2(g) la seconde fonction symétrique des valeurs propres de la matrice Rc−s6g.