On geometric properties of orbital varieties in type A

The intersection between a nilpotent orbit O⊂gln(C) and the Lie algebra Lie(B)⊂gln(C) of a Borel subgroup B⊂GLn(C) is an equidimensional, quasi-affine algebraic variety. Its irreducible components are called orbital varieties. In this Note, we provide criteria to guarantee that an orbital variety is smooth or has a dense orbit for the adjoint action of B. In addition, we point out a possible relation between these two properties.

RésuméLʼintersection entre une orbite nilpotente O⊂gln(C) et lʼalgèbre de Lie Lie(B)⊂gln(C) dʼun sous-groupe de Borel B⊂GLn(C) est une variété algébrique quasi-affine équidimensionnelle. Ses composantes irréductibles sont appelées variétés orbitales. Dans cette Note, on propose des critères pour quʼune variété orbitale soit lisse ou bien possède une orbite dense pour lʼaction adjointe de B. De plus, on souligne un lien possible entre ces deux propriétés.