Formes modulaires modulo 2 : Lʼordre de nilpotence des opérateurs de Hecke

RésuméSoit . Une forme modulaire f mod 2 de niveau 1 est un polynôme en Δ. Si p est un nombre premier >2, lʼopérateur de Hecke Tp transforme f en une forme modulaire Tp(f) qui est un polynôme en Δ de degré strictement plus petit que celui de f, de sorte que Tp est nilpotent.Lʼordre de nilpotence de f est défini comme le plus petit entier g=g(f) tel que, pour toute famille de g nombres premiers impairs p1,p2,…,pg, on ait Tp1Tp2…Tpg(f)=0. Nous montrons dans ce qui suit comment on peut calculer g(f) ; on a .

Let be the reduction mod 2 of the Δ series. A modular form f modulo 2 of level 1 is a polynomial in Δ. If p is an odd prime, then the Hecke operator Tp transforms f in a modular form Tp(f) which is a polynomial in Δ whose degree is smaller than the degree of f, so that Tp is nilpotent.The order of nilpotence of f is defined as the smallest integer g=g(f) such that, for every family of g odd primes p1,p2,…,pg, the relation Tp1Tp2…Tpg(f)=0 holds. We show how one can compute explicitly g(f); if f is a polynomial of degree d in Δ, one finds that g(f)≪d1/2.