Une généralisation de la formule du triple produit de Jacobi et quelques applications

RésuméSi An≠0 pour tout n∈Z, on montre que la série à 2 variables Q(x,y)=∑n∈ZAnxnyn(n+1)/2 se factorise formellement en un triple produit infini qui généralise la formule de Jacobi. Soit ρo la racine positive de , on prouve la convergence de la factorisation de Q pour x∈C⁎ et avec . On en déduit que si on peut calculer explicitement chaque zéro de la série de Laurent f(x)=∑n∈ZAnxn comme la somme ou lʼinverse de la somme de séries dont les termes sont des expressions polynomiales des . Si lʼinégalité précédente est large et f(x) réelle, tous ses zéros sont réels. Une autre application consiste, lorsquʼon connait la factorisation en triple produit de Q(x,y) par une autre voie que celle décrite dans la note, à les identifier. Ainsi avec la fonction theta de Jacobi, on a obtenu une identité nouvelle pour la somme des diviseurs σ(n) dʼun entier.

If An≠0 for all n∈Z, we show the series with 2 variables Q(x,y)=∑n∈ZAnxnyn(n+1)/2 factorizes formally in an infinite triple product, which generalizes the Jacobiʼs formula. Let ρo be the positive root of , we prove the convergence of the factorization of Q for x∈C⁎ and with . We deduce that if each zero of the Laurent series f(x)=∑n∈ZAnxn can be explicitly calculated as the sum or the inverse of the sum of series, whose terms are polynomial expressions of . If the previous inequality is wide and f(x) real, then all its zeros are real numbers. An other application is when you know the triple product factorization of Q(x,y) by another way than described in the note, to identify them. So with the Jacobi theta function, we obtained a new identity for the sum of divisors σ(n) of an integer.