Foliated vector bundles and Riemannian foliations

In this Note we prove the equivalence between the Riemannian foliation and each of the following conditions: 1) the lifted foliation Fr on the bundle of r-transverse jets is Riemannian for r⩾1; 2) the foliation on the slashed is Riemannian and vertically exact for r⩾1; 3) there exists a positively admissible transverse Lagrangian on , the r-transverse slashed jet bundle of a foliated bundle E→M, for r⩾1.

RésuméDans cette Note on établie lʼéquivanence entre la propriété pour un feuilletage dʼêtre riemannien et chacune des conditions suivantes : 1) le feuilletage rélevé Fr sur lʼespace des jets r-transverses est riemannien pour une certaine valeur de r⩾1 ; 2) le feuilletage rélevé sur lʼespace réduit des jets r-transverses est riemannien et verticalement exact pour une certaine valeur de r⩾1 ; 3) il existe un lagrangien positif, admissible et transvers sur , le fibré réduit des jets r-transverses dʼun fibré vectoriel E→M, pour une certaine valeur r⩾1.