A boundary matching micro/macro decomposition for kinetic equations

We introduce a new micro/macro decomposition of collisional kinetic equations which naturally incorporates the exact space boundary conditions. The idea is to write the distribution function f in all its domain as the sum of a Maxwellian adapted to the boundary (which is not the usual Maxwellian associated with f) and a reminder kinetic part. This Maxwellian is defined such that its ‘incoming’ velocity moments coincide with the ‘incoming’ velocity moments of the distribution function. Important consequences of this strategy are the following: (i) No artificial boundary condition is needed in the micro/macro models and the exact boundary condition on f is naturally transposed to the macro part of the model; (ii) It provides a new class of the so-called ‘Asymptotic Preserving’ (AP) numerical schemes: such schemes are consistent with the original kinetic equation for all fixed positive value of the Knudsen number ε, and if ε→0 with fixed numerical parameters then these schemes degenerate into consistent numerical schemes for the various corresponding asymptotic fluid or diffusive models. Here, the strategy provides AP schemes not only inside the physical domain but also in the space boundary layers. We provide a numerical test in the case of a diffusion limit of the one-group transport equation, and show that our AP scheme recovers the boundary layer and a good approximation of the theoretical boundary value, which is usually computed from to the so-called Chandrasekhar function.

RésuméNous introduisons une nouvelle décomposition micro/macro pour les équations cinétiques collisionnelles qui tient compte de façon exacte des conditions aux bords en espace. Lʼidée est de décomposer la fonction de distribution f en une Maxwellienne adaptée au bord (qui nʼest pas la Maxwellienne usuelle associée à f) et une partie cinétique restante. Cette nouvelle Maxwellienne est définie de sorte que ses moments « entrants » en vitesse soient les mêmes que les moments « entrants » de f. Des conséquences importantes de cette stratégie sont les suivantes : (i) Aucune condition artificielle nʼest nécessaire et les conditions de bord sur f sont naturellement transposées sur la partie macroscopique de la décomposition ; (ii) La stratégie produit une nouvelle classe de schémas dits « Asymptotic Preserving » (AP) : ces schémas sont consistants avec le modèle cinétique original pour toute valeur positive du nombre de Knudsen ε, et si ε→0 et les paramètres numériques sont fixés, alors ces schémas dégénèrent en des schémas qui sont consistants avec les divers modèles asymptotiques associés. Ici, les schémas obtenus reproduisent très bien les couches limites diffusives. Nous donnons un résultat numérique dans le cas dʼune limite de diffusion et montrons que la valeur au bord théorique (calculée habituellement à partir de la fonction de Chandrasekhar) est bien approchée numériquement.