A Note on hypersurfaces of a Euclidean space

In this short Note, we consider a compact and connected orientable hypersurface M   of the Euclidean space Rn+1Rn+1 with non-negative support function and Minkowskiʼs integrand σ, and show that the mean curvature function α   is the solution of the Poisson equation Δφ=σΔφ=σ if and only if M is isometric to n  -sphere Sn(c)Sn(c) of constant curvature c  . A similar result is proved for a hypersurface with scalar curvature satisfying the Poisson equation Δφ=σΔφ=σ.

RésuméDans cette courte Note, nous considérons une hypersurface compacte, connexe orientable M   de lʼespace euclidien Rn+1Rn+1, de fonction support positive ou nulle et dʼintégrande de Minkowski σ. Nous montrons que la fonction courbure moyenne α   est la solution de lʼéquation de Poisson Δφ=σΔφ=σ si et seulement si M   est isométrique à une sphère Sn(c)Sn(c) de dimension n et courbure constante égale à c  . Un résultat similaire est démontré pour une hypersurface de courbure scalaire satisfaisant lʼéquation de Poisson Δφ=σΔφ=σ.