Équivalence élémentaire de puissances cartésiennes d'un même groupe

RésuméNous démontrons que si I et J sont des ensembles infinis et G un groupe commutatif de torsion les groupes GI et GJ sont élémentairement équivalents pour la logique L∞ω. La démonstration utilise de façon essentielle une propriété nouvelle et simple « à la Cantor–Bernstein ».Un critère s'appliquant à des groupes noncommutatifs nous permet d'exhiber divers groupes (libres ou résolubles ou nilpotents ou …) G tels que pour I infini dénombrable et J non dénombrable les groupes GI et GJ ne sont même pas élémentairement équivalents pour la logique Lω1ω. Nous construisons à la main un groupe commutatif dénombrable ayant la même propriété.

We prove that if I and J are infinite sets and G a commutative torsion group, the groups GI and GJ are elementarily equivalent for the logic L∞ω. The proof is based on a new and simple property with a Cantor–Bernstein flavour.A criterion applying to non-commutative groups allows us to exhibit various groups (free or soluble or nilpotent or …) G such that for I infinite countable and J uncountable the groups GI and GJ are not even elementarily equivalent for the Lω1ω logic. Another argument leads to a countable commutative group having the same property.