Functional equations for zeta functions of F1-schemes

For a scheme X whose Fq-rational points are counted by a polynomial N(q)=∑aiqi, the F1-zeta function is defined as ζX(s)=∏(s−i)−ai. Define χ=N(1). In this paper we show that if X is a smooth projective scheme, then its F1-zeta function satisfies the functional equation ζX(n−s)=χ(−1)ζX(s). We further show that the F1-zeta function ζG(s) of a split reductive group scheme G of rank r with N positive roots satisfies the functional equation ζG(r+N−s)=χ(−1)(ζGr(−1)(s)).

RésuméPour un schéma X dont les points Fq-rationnels sont comptés par un polynôme N(q)=∑aiqi, la fonction zêta sur F1 est définie par ζX(s)=∏(s−i)−ai. Posons χ=N(1). Dans cette Note nous montrons que si X est un schéma projectif lisse, alors sa fonction zêta sur F1 satisfait l'équation fonctionnelle ζX(n−s)=χ(−1)ζX(s). Nous montrons aussi que la fonction zêta ζG(s) sur F1 d'un schéma en groupes réductif déployé G de rang r avec N racines positives satisfait l'équation fonctionnelle ζG(r+N−s)=χ(−1)(ζGr(−1)(s)).